TD Systèmes de numération - binaire - octal - hexadécimal TP Systèmes de Numération Exercices

Système de numération

On appelle système de numération tout système permettant d’écrire les nombres.
Nous utilisons usuellement le système de numération décimal.

est la base du système, on utilise dix symboles pour les chiffres, la position de chaque chiffre permet de connaître son poids: chiffre des unités, chiffre des dizaines ... La base 10 est commode car nous avons dix doigts mais rien n’empêche d’utiliser une autre base.

Les sumériens utilisaient la base 60 pour leurs calculs astronomiques et il en reste quelques traces dans nos systèmes d’unités pour le temps et les angles.

Soit B un entier strictement supérieur à 1.

Définition On pose

avec pour chaque chiffre

Exemple (342)5= (97)10

Remarque :

Autrement dit si

alors b0 est le reste de la division entière de N par B et

est la représentation en base B du quotient.

Exercice 1

Compléter les tableaux suivants :

La mémoire et le système binaire

Les mémoires d’ordinateurs sont constituées de composants électroniques pouvant prendre deux états stables. En notant 0 un de ces états et 1 le deuxième, le contenu de la mémoire est alors une suite de 0 et de 1 que l’on peut interpréter comme une représentation d’entiers en base 2, ce qui explique l’importance du système binaire en informatique. On utilisera également le système octal de base 8 et le système hexadécimal de base 16. Pour ce dernier système il est nécessaire d’introduire six chiffres supplémentaires : a, b, c, d, e, f .

Exercice 2

Exprimer (110101)2en base 10. De même pour (456)8et (abc)16

Exercice 3

Compléter le tableau suivant :

Exercice 4

Compléter le tableau suivant :

Et les opérations ?

Dans un ordinateur, à côté de la mémoire (qui contient des entiers) il y a une deuxième unité importante : l’unité de calcul. Peut-on faire des calculs en base 2, 8 ou 16 ?

Exercice 5

Compléter les tables :

Exercice 6

Effectuer les opérations suivantes :

Exercice 7

Le nombre total d’atomes dans l’univers est estimé à 1080, combien faut-il de bits pour écrire ce nombre ?

Compléter la phrase suivante :

Dans la base ... les calculs sont faciles, mais les écritures sont longues.
Dans la base ... les écritures sont compactes mais je ne connais pas ( encore ) par cœur les tables.
La base ... est un compromis.

Et pour une virgule de plus ?

 Exemple (0.412)5= (0.856)10

Exercice 8

Compléter le tableau suivant :

Exercice 9

1˚) Représenter sur le segment [0, 1[ tous les nombres binaires de la forme : (0.b1b2b3)2

2˚) Quel est l’écart entre deux nombres consécutifs ?

3˚) Déterminer une approximation binaire sur 3 bits des décimaux : 0,1 ; 0.2 ; ... en utilisant un arrondi.

4˚) De même en utilisant une troncature vers 0.