Exercices Algorithme TP Algorithmique - Traitement conditionnel - Les Boucles - TRI

Exercice n° 1 :

1) Donner un algorithme qui trouve le plus petit et le plus grand élément d’un

tableau contenant n entiers naturels en effectuant un nombre de comparaisons de l’ordre de

prouver votre programme et sa complexité, bien sûr ! ).


            

Indication : considérer les éléments du tableau 2 par 2 et commencer par comparer 2 éléments successifs.
    
2) Un étudiant a proposé la solution suivante :

let min max v =
   let min = ref 0 and max = ref 0 in
       for i = 1 to vect  length (v) -1 do
         if v. (i) < v. (!min) then min:= i
         elseif v. (i) > v. (!max) then max:=i done; (!min, !max) ; ;

Ainsi le nombre de comparaisons effectuées pour chaque i est soit 1 soit 2. L’étudiant se demande si sa solution bien que fausse dans le cas le pire ne serait pas correcte en moyenne.

Le but de cet exercice est de montrer qu’il n’en est rien. Pour ce faire on retient le modèle des permutations et au lieu d’examiner les tableaux à trier on se penche sur la permutation associée, c’est à  dire que l’on suppose que l’algorithme est exécuté sur un tableau α contenant tous les entiers naturels entre 1 et n, et que toutes les permutations de ces nombres sont équiprobables.

a. Pour toute permutation α on on appelle minimum local un entier j tel que :
                     

                 
On convient que 1 est toujours un minimum local de α. Exprimer le nombre de comparaisons effectuées par l’algorithme précédent en fonction du nombre k de minima locaux de la permutation α.
                

            
b. On note par image le nombre de permutations sur n éléments qui présentent k minima locaux. Montrez que :
              

                      
c. On considère la famille de polynômes :
              

                
Donnez une expression de Pn(x) comme un produit de monômes du premier degré. Montrez que la dérivée P'n(x) satisfait
          

                     
d. Donnez une expression du nombre moyen Mn de minima locaux dans les permutations sur n éléments.

e. Quel est le comportement à l’infini du nombre moyen de comparaisons dans le programme de l’étudiant ; le comparer à

             

Exercice n° 2 :

Soit x1, x2, . . . , xn une suite finie de nombre entiers non tous nécessairement distincts. La "multiplicité" d’une valeur x dans la suite est égale au nombre de fois où x apparaît dans la suite. Un entier z est dit "valeur majoritaire" si sa multiplicité est supérieure ou égale à E(n/2) + 1.

1) Montrer que si xi est différent de xj et si l’on supprime xi et xj de la suite, la valeur majoritaire de la suite initiale, s’il en existe une, est aussi valeur majoritaire de la suite obtenue après suppression.

2) Montrer qu’en examinant successivement les éléments de la suite dans l’ordre x1, x2, . . . , xn on peut "mettre à jour" deux variables C et M    ayant la propriété suivante :

lorsque l’on considère xi, C contient une valeur qui est la seule candidate possible à être valeur majoritaire parmi x1, x2, . . . , xi−1 et M contient le nombre de fois où la valeur C est apparue jusqu’alors, si l’on exclue les fois où C a été éliminé.

3) En déduire un algorithme qui, en deux "parcours" de la suite x1, x2, . . . , xn  détermine si la suite possède ou non une valeur majoritaire et donne cette valeur majoritaire quand elle existe.