TD et correction sur les systèmes de numération - conversion binaire - hexadécimal - Exercices corrigés calcul binaire

Exercices Corrigés sur Les bases de numération

Nous allons faire un petit TD de mise en application sur les bases de numération. Cette compétence vous sera utile bien des fois dans votre métier.

Objectif

L’objectif est de vous faire manipuler les différentes bases de numération, essentiellement dans une optique de conversion.

Exercice 1 

1. Comptez jusqu’à 20 en binaire en indiquant la valeur équivalente en décimal.

2. Combien d’octets font 32 bits ?

3. Dans l’octet suivant : (1001 1010)₂ , quel est le bit de poids fort, le bit de poids faible ?

Exercice 2

Faites les opérations ci-dessous, en utilisant un tableau de huit colonnes (une pour chaque bit) :

1. Calculer : (1100 0110)₂ + (0010 0110)₂

2. Calculer : (1110 1110)₂ + (1110 1110)₂ : Quelle constatation faites-vous sur le résultat ?

3. Calculer : (1110 1110)₂ - (1110 1111)₂ : Quelle constatation faites-vous sur le résultat ?

Exercice 3

1. Dans le nombre (40 04)₁₀, Qu’est-ce qui différencie le 4 de gauche de celui de droite ?

2. Convertir (128)₁₀ en binaire.

3. Convertir (1100 0110)₂ en décimal.

Exercice 4

1. Combien vaut (A)₁₆ en décimal ? Combien vaut (4A)₁₆ en décimal ?

2. Convertir (510)₁₀ en hexadécimal.

3. Convertir (1100 0110)₂ en hexadécimal.

Exercice 5

1. Complétez le tableau suivant :

Image

2. Quelles sont les valeurs minimales et maximales que l’on peut représenter sur un octet ?

3. Sachant cela, à votre avis, combien de valeurs différentes peut-on représenter sur un octet ?

4. Décalage : Il existe un opérateur (comme +, -, …) qui consiste à décaler chaque bit d’une position vers la gauche puis à introduire un 0 à droite.

• Convertir (75)₁₀ en binaire. Effectuer un décalage à gauche de ce résultat.

Reconvertir en décimal. Conclusion ?

• Quel sera le problème avec (200)₁₀ s’il est représenté en binaire sur un octet ?

5. Combien de bits sont nécessaires pour représenter (18 450)₁₀ en binaire ?

Exercice 6

Dans un réseau, les ordinateurs fonctionnant avec le protocole TCP/IP sont identifiés par une adresse. Cette adresse est composée de quatre nombres. Par exemple, une machine pourrait avoir l’adresse 172.16.0.3. Ceci est une adresse IP.

Chaque nombre séparé par un point est codé sur un octet. L’adresse est donc constituée de 4 octets.

1. Sur combien de bits est codé chaque nombre d’une adresse IP ? Sachant cela, quelle est la taille en bits d’une adresse complète ?

2. Pour chaque nombre, donnez l’intervalle de valeurs possibles. En déduire le nombre d’adresses différentes que l’on peut théoriquement former.

Les adresses IP sont structurées :

       • une partie identifie le réseau ;

       • une partie identifie l’appareil dans le réseau.

Imaginons que l’on est sur l’appareil d’adresse IP : 172.16.1.80. À cette adresse est associé un masque qui a la forme : 255.255.0.0. Ce masque sert au logiciel TCP/IP fonctionnant sur la machine à calculer la partie réseau de l’adresse.

3. Convertissez en binaire l’adresse IP de la machine. Attention, on attend pour chaque nombre de l’adresse, un résultat sur 8 bits.

4. Convertissez en binaire le masque (idem ci-dessus, chaque nombre doit être sur 8 bits).

5. Réalisez un ET logique bit à bit (rappelez-vous de la table de vérité du ET) entre l’adresse IP et le masque.

6. Convertissez le résultat en décimal. Que constatez-vous ?

Imaginons que la machine 172.16.1.80 souhaite communiquer avec la machine d’adresse IP 193.252.19.3.

7. Réalisez les mêmes opérations que précédemment avec cette nouvelle adresse.

8. Peut-on dire que la machine 172.16.1.80 et 193.252.19.3 sont dans le même réseau ?

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Correction 

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Solution Exercice 1

1.

2. 32 bits font 4 octets puisque 8 bits = 1 octet

3. Dans (1001 1010)₂  le bit de poids fort est le 1 le plus à gauche, le bit de poids faible est le 0 le plus à droite.

Solution Exercice 2

1.

2.

Le résultat ne tient pas sur 8 bits mais sur 9. On verra un peu plus tard que ce peut être une source de problèmes lorsque l’on programme.

3.

Drôle de résultat, vous ne trouvez pas ? En fait, le résultat est négatif, puisque le deuxième nombre est plus grand que le premier. Nous reviendrons sur ce problème dans la séquence suivante en répondant à la question : comment les nombres binaires négatifs sont-ils stockés dans la mémoire de l’ordinateur ?

Solution Exercice 3

1. Dans le nombre  (40 04)₁₀  Qu’est-ce qui différencie le 4 de gauche de celui de droite ? Eh bien, c’est son poids !

2.

(128)₁₀ = (1000 0000)₂

3.

(1100 0110)₂ = (198)₁₀

Solution Exercice 4

1. (A)₁₆ = (10)₁₀ , (4A)₁₆ = (74)₁₀

2.

(510)₁₀ = (1FE)₁₆

3.

Solution Exercice 5

1.

2. Sur un octet, la plus petite valeur est 0, la plus grande, c’est quand tous les bits sont à 1 soit (1111 1111)₂ ce qui donne (255)₁₀.

3. Question piège en général ! Sur un octet, on peut représenter 256 valeurs différentes (n’oublions pas le 0).

4. (75)₁₀ = (100 1011)₂ , décalé d’une position vers la gauche, on obtient (1001 0110)₂ ce qui donne (150)10. Conclusion décaler un nombre binaire vers la gauche revient à multiplier par deux (décaler vers la droite, revient à diviser par 2).

Avec (200)₁₀, on aura un problème puisqu’il occupe déjà les 8 bits (200x2 = 400, ce qui ne rentre pas sur un octet puisque la plus grande valeur est 255).

5. Avec 14 bits, le plus grand nombre que l’on peut représenter est 214 – 1 = 16 383 ce qui est insuffisant. Avec 15 bits, le plus grand nombre que l’on peut représenter est 215 –1 = 32 767 ce qui convient. Il faut donc 15 bits pour représenter (18 450)₁₀ en binaire.

Solution Exercice 6

1. Si chaque nombre est codé sur un octet, cela correspond à 8 bits. Puisqu’il y a 4 nombres dans une adresse IP, le tout fait 32 bits.

2. Chaque nombre est compris entre 0 et 255 soit 256 valeurs différentes. Puisqu’il y a 4 nombres dans une adresse IP, on peut former théoriquement 256x256x256x256 adresses, ce qui donne 4 294 967 296, ce qui correspond à 232.

3. (172.16.1.80)₁₀ = (1010 1100.0001 0000.0000 0001.0101 0000)₂

4. (255.255.0.0)₁₀ = (1111 1111.1111 1111.0000 0000.0000 0000)₂

5. (1010 1100.0001 0000.0000 0001.0101 0000)₂ ET (1111 1111.1111 1111.0000 0000.0000 0000)₂ = (1010 1100.0001 0000.0000 0000.0000 0000)₂

6. (1010 1100.0001 0000.0000 0000.0000 0000)₂ = (172.16.0.0)10₂ En faisant un ET logique entre l’adresse et le masque, on récupère le début de l’adresse IP. Il s’agit de la partie réseau de l’adresse.

7. (193.252.19.3)₁₀ = (1100 0001. 1111 1100.0001 0011.0000 0011)₂

(1100 0001. 1111 1100.0001 0011.0000 0011)₂ ET (1111 1111.1111 1111.0000 0000.0000 0000)₂ = (1100 0001. 1111 1100.0000 0000.0000 0000)₂

(1100 0001. 1111 1100.0000 0000.0000 0000)₂ = (193.252.0.0)₁₀

8. De toute évidence non ! (172.16.0.0))₁₀ # (193.252.0.0)₁₀

Cours systèmes de numération