Corrigés Exercices Circuit logique et table de vérité et Algèbre de boole et table de Karnaugh

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Solution de l'exercice 1 : 

Le circuit logique et la table de vérité sont :

Solution de l'exercice 2 :

Le circuit réalisé la fonction ET telle que :

Solution de l'exercice 3 :

Le circuit réalisé la fonction OU telle que :

Solution de l'exercice 4 :

Solution de l'exercice 5 :

Solution de l'exercice 6 :

Les combinaisons possibles pour x et y sont de 23 = 8, c'est-à-dire :

A chaque combinaison de x peut correspondre n'importe laquelle des huit combinaisons de y.
De plus, pour chaque bit xi il existe 2 combinaisons possibles de bits de y et inversement, de telle sorte que la solution par rapport à la comparaison bit par bit est :

ce qui donne l'équation logique suivante :

Comme chaque entrée est à 3 bits (bit 20, bit 21 et bit 22), et que chaque paire de bits est décrite par l'équation (1), alors le circuit cherché est le suivant :

Il est évident que ce circuit n'est pas optimal et qu'une simplification s'impose.
L'équation (1) peut être simplifiée en ajoutant, sans rien changer à l'équation, deux zéros    ainsi :

L'équation  (2) donne un circuit qui ne nécessite que 7 éléments au lieu des 16 du circuit non simplifié tel que :

Solution de l'exercice 7 :

1. La table d'état est :

(0/1) veut dire que l'on peut indifféremment choisir soit 0 soit 1.


2. les expressions logiques du circuit sont :

ce qui nous donne, pour chaque bit i,le schéma suivant :         

3. le schéma logique complet du circuit est :

Solution de l'exercice 8 :


1. Simplification par voie algébrique :
le théorème d'idempotence permet d'écrire :

 
2. Simplification par la méthode de Karnaugh :

On reproduit la table de vérité dans une table, appelée table de Karnaugh, telle que :

On remarque que les 4 cases de la table de Karnaugh correspondent aux 4 lignes de la table de vérité. La simplification consiste à encercler tout ensemble de cases remplies de 1, adjacentes sur la même ligne ou la même colonne.

Dans notre exercice, on trouve deux ensembles (ligne y = 1 et colonne x = 1) de cases qui recouvrent complétement les parties affectées aux variables x et y.
Ainsi, on peut déduire que la solution est s = x + y.

Solution de l'exercice 9 :

La table de Karnaugh est :

Ainsi, on peut déduire que la solution est :